Tipos de distancias

Como existen distintas formas de expresar las posiciones sobre la superficie terrestre a través de distintos sistemas de coordenadas (geodésicas, cartesianas, locales, planas, etc.), también existen distintas formas de expresar las distancias. En cualquier caso, es fundamental tener presente que cualquiera de ellas depende de la superficie a la que se encuentre referida. 

Distintos tipos de distancia

La distancia geodésica está asociada al elipsoide, por lo que también se la denomina elipsoidal (De), y es la línea curva de longitud mínima que une dos puntos con latitud y longitud conocidas, o un punto fijo y una dirección dada sobre la superficie del elipsoide.  Aquí cabe considerar que la influencia que tiene la corrección entre el arco del elipsoide y la cuerda es de 1 mm. para una distancia de 10 km., por lo que puede despreciarse para aplicaciones en levantamientos topográficos y mensuras.

La corrección arco-cuerda puede calcularse mediante la siguiente expresión: C_ac = D³ / 24 R_M²

El radio medio aproximado a incluir en la fórmula es 6.371.000 metros.

La distancia cartográfica (Dc) está referida a un plano de proyección que puede ser tangente (caso de la proyección Gauss-Krüger) o secante (caso de la proyección UTM) al meridiano central de faja o zona, siendo por lo tanto una línea recta y plana que une dos puntos con coordenadas proyectivas dadas. La referida deformación es cuantificada en un sistema de proyección por medio del factor de escala o módulo de deformación (Fe), que es el cociente entre la distancia cartográfica y la geodésica o elipsoidal. Para el caso de la proyección Gauss-Krüger dicho valor es igual o mayor que 1, y es función de los parámetros del elipsoide, la latitud y la distancia de los puntos al meridiano central.

Fe = Dc / De,   Dc = De x Fe

El factor de escala típicamente se calcula como el promedio de los correspondientes valores de los puntos extremos de la línea. 

 

Deformación de la distancia cartográfica en función de su

apartamiento al meridiano central de faja.

 

Factor de escala en función de la latitud

y del apartamiento del meridiano central de faja.

Es decir que para una latitud media en Argentina, en el borde de faja tendremos un agrandamiento en la distancia cartográfica de unos 20 cm. cada 1.000 metros, que es equivalente a 200 ppm (partes por millón) o a un error relativo de 1/5.000.

Para más detalles al respecto, puede verse la entrada sobre deformaciones en las proyecciones Gauss-Krüger y UTM.

La distancia inclinada o espacial (Di) está referida al terreno y es equivalente a la magnitud del vector determinado por posicionamiento diferencial GNSS, y se obtiene por diferencia entre dos posiciones con coordenadas cartesianas 3D X,Y,Z conocidas. La distancia que medimos con un distanciómetro o estación total podemos considerarla una distancia inclinada, si despreciamos los efectos de la refracción en la atmósfera y las extremadamente pequeñas desviaciones causadas por el campo de gravedad terrestre.

Finalmente, las distancias medidas sobre la superficie topográfica (Di) reducidas a un plano horizontal local o a una altura media (Dh), se denominan distancias horizontales o distancias reducidas al horizonte. El inconveniente con estas magnitudes, es que su escala varía de conformidad a la altura del terreno. En el siguiente cuadro, podemos observar la influencia de la altura sobre las medidas lineales. 

Los valores de la tabla han sido calculados con la siguiente fórmula:

Coef. Altura (Ca) = R_M / R_M + h

Dónde R_M = 6.371.000 m., y h = altura elipsoidal.

Su empleo práctico podría limitarse cuando las correcciones a aplicar se encuentren por debajo de la precisión instrumental o bien se trate de correcciones que queden absorbidas por las tolerancias establecidas para el trabajo. No obstante, si consideramos que una precisión típica para una estación total es igual a unos = ± 5 mm. + 10 ppm, sin considerar las correspondientes correcciones por temperatura, presión y humedad, podremos observar que la influencia de la altura sobre el elipsoide (h) alcanza magnitudes de importancia a partir de los 200 metros.

Hoy siendo común la combinación de mediciones GNSS con métodos topográficos clásicos, hay que tener en cuenta que si a nuestro levantamiento vamos a expresarlo en coordenadas planas, tendremos que tener presente aplicar a las distancias determinadas con estación total un factor de escala combinado, que incluye el módulo de deformación de la proyección más el coeficiente de altura. 

Factor combinado (Fc) = Fe x Ca

Este valor puede aplicarse a las distancias horizontales para obtener la distancia cartográfica, o bien si a ésta la dividimos por el factor combinado podemos obtener la Dh sobre el terreno.

Dc = Dh x Fc ó

Dh = Dc / Fc

Esta consideración es además aplicable para aquellos casos en que los datos espaciales capturados deban ser incorporados a un Sistema de Información Geográfica, dado que la referenciación espacial está basada en datos de posición derivados de marcos de referencia geodésicos y sistemas de proyección cartográfica asociados, y no de sistemas de coordenadas locales con orígenes arbitrarios.

Ejemplo numérico:

Dados dos vértices cuyas coordenadas geodésicas fueron determinadas con método estático GPS, vamos a calcular la Di a partir de las coordenadas cartesianas 3d de los mismos:

	Lat. (°,’,”)	Long. (°,’,”)	h (m.)	X (m.)	Y (m.)	Z (m.)
v1	-42 55  01.98425	-71 20 17.27656	589.430	1497086.865	-4432664.664	-4321172.755
v2	-42 54  52.56679	-71 20  29.22478	623.224	1496901.326	-4432962.327	-4320982.917

Di v1-v2 calculada = 398.831 m.

Di v1-v2 medida con Estación Total = 398.827 m.

El error relativo obtenido es de aproximadamente 1/100.000 o 10 ppm.

Por otra parte, aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos:
Dh v1-v2 = 397.397 m.

Para las mismas posiciones, convirtiendo las geodésicas a planas proyección Gauss-Krüger – Faja 1, tenemos:

	x / N (m.)	y / E (m.)	Fe
v1	5248229.721	1554041.812	1.00003591
v2	5248522.459	1553773.092	1.00003556

Dc v1-v2 = 397.374 m.

Para calcular la distancia elipsoidal dividimos el valor obtenido precedentemente sobre el factor de escala promedio:

De = 397.374 m. / 1.000036 = 397.360 m.

El valor obtenido puede verificarse, utilizando el programa Inverse del National Geodetic Survey de los Estados Unidos, cuya aplicación en línea se encuentra disponible en: http://www.ngs.noaa.gov/cgi-bin/Inv_Fwd/inverse2.prl

Finalmente, podemos verificar la distancia horizontal calculada anteriormente, aplicando un valor de altura promedio de 606 metros.

Dh = 397.360 m. x 1.000095 = 397.398 m., dónde el Ca = 1 / 0.999905